27 de jun. de 2010

RELACIONES Y FUNCIONES EN MATEMÁTICAS



Estudiemos el siguiente ejemplo: José, Ana y Luis tienen preferencia por Matemática; Ana, Raúl y Silvia tienen preferencia por Biología y Luis, Carlos y Pedro tienen preferencia por Lenguaje e Historia; Omar no tiene preferencia por ninguna materia.


En la Figura 1, se representa el ejemplo anterior mediante un diagrama. Este tipo de representación lo llamamos DIAGRAMA SAGITAL.


Al conjunto de alumnos lo llamamos COJUNTO DE PARTIDA.


Al conjunto de asignaturas lo llamamos CONJUNTO DE LLEGADA.

La relación existente entre los dos conjuntos lo denotamos por R. En nuestro ejemplo:


R: "tiene preferencia por"

Esta relación también la podemos representar mediante un conjunto de PARES ORDENADOS, donde el primer elemnto del par pertenece al Conjunto de Partida y el segundo elemento pertenece al Conjunto de Llegada. Así, denotando cada elemento por su letra inicial, tenemos:
(JM); (A,M); (A,B); (LM); (LL); (LH); (RB); (SB); (CL); (CH); (PL); (PH).

Podemos representar también esta relación en un plano cartesiano; ubicando sobre el eje horizontal los elementos del Conjunto de Partida y sobre el eje vertical los del Conjunto de Llegada. El gráfico quedará formado por los puntos determinados por la relación dada. En nuestro ejemplo:






Este tipo de representación lo llamamos DIAGRAMA TABULAR.

Observemos que en el conjunto de partida hay elementos (alumnos) que están relacionados con un solo elemento del conjunto de llegada (asignatura), otros con dos, otros con tres y hay uno (Omar) que no está relacionado.

Estudiemos este otro ejemplo:
Consideremos los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {1,2,4,6,7,8,9}
Establezcamos entre A y B la relación
R: "es la mitad de".
Representamos esta relación siguiendo el esquema del ejemplo anterior:

(a) DIAGRAMA SAGITAL:




(b) PARES ORDENADOS: (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)

(c) DIAGRAMA TABULAR:







Observemos en este ejemplo que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con un sólo elemento del conjunto de llegada. A este tipo de relaciones las llamamos FUNCIONES.


En toda función


  • Al conjunto de partida lo llamamos DOMINIO y lo simbolizamos Dom.


  • A los elementos del Dominio los llamamos PRE-IMÁGEN.


  • Los elementos del conjunto de llegada que están relacionados los llamamos IMÁGEN.


  • Al conjunto de Imágenes los llamamos RANGO y lo simbolizamos Rgo.

Si cada elemento del Dominio lo llamamos "x", la función f, por ejemplo, cuyo Dominio es el conjunto A y cuyo Rango es el conjunto B:

f : A ---> B
"es el triple menos uno"

la podemos expresar simbólicamente así:


f(x) = 3x - 1


Ahora sabiendo que A = {0,5,-4,3} determinemos:

(a) Imágenes,

(b) Dominio y

(c) Rango

de la función f(x) = 3x - 1


Solución:

(a) Imágenes:

f(0) = 3 (0) - 1 = -1

f(5) = 3 (5) - 1 = 14

f(-4) = 3 (-4) - 1 = -13

f(3) = 3 (3) -1 = 8


(b) Dom = A

(c) Rgo = {-1, 14, -13, 8}


Clasificación de Funciones


(a) FUNCIÓN INYECTIVA:

Una función f : A--->B es inyectiva si a elementos distintos del dominio corresponden imágenes distintas. (ver Figura 5.)













(b) FUNCIÓN SOBREYECTIVA
:

Una función f : A--->B es sobreyectiva cuando cada elemento del conjunto de llegada es imágen de algún elemento del conjunto de partida (ver Figura 6.)













(c) FUNCIÓN BIYECTIVA:

Una función f : A--->B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente (ver Figura 7.)














(d) FUNCIÓN CUALQUIERA:

Una función f : A--->B es cualquiera si no es ni inyectiva ni sobreyectiva ni biyectiva (ver Figura 8.)













Ejemplo: Dados los conjuntos C = {-1, -1/2, 0, 3/4, 1} y la función f : C ---> D definida de la siguiente manera: f(x) = 4x-1. Determine los elementos del conjunto de llegada D y diga qué clase de función es f.

Solución:

Hallamos los elementos del conjunto de llegada D:


f(-1) = 4(-1)-1 = -5


f(-1/2) = 4(-1/2) -1 = -3


f(0) = 4(0) -1 = -1


f(3/4) = 4(3/4) -1 = 2


f(1) = 4(1) -1 = 3



D = {-5, -3, -1, 2, 3}


La función f(x) es inyectiva.